ILHAM BAE: SOAL DAN PEMBAHASAN BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Jumat, 14 Februari 2014

SOAL DAN PEMBAHASAN BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Baris dan Deret Bilangan.

1. Sebuah daerah pada tahun 2008 memiliki jumlah penduduk 24 orang. Tiap tahunnya jumlah penduduk bertambah dua kali lipatnya. Maka, jumlah penduduk pada tahun 2012 adalah...Penyelesaian:Ini adalah bentuk barisan geometri dengan rumus suku ke n:Un = U1.r^(n - 1) -----> ( tanda ^ berarti pangkat).Jumlah penduduk tahun 2008 (U1) = 24 orang.Tiap tahun penduduk bertambah 2x lipat (rasio) = 2.Maka, jumlah penduduk tahun 2012 (U5):Un = U1.r^(n - 1)U5 = 24.2^(5 - 1)U5 = 24.2^4U5 = 24.16 = 384 orang.Jadi, jumlah penduduk daerah tersebut pada tahun 2008 adalah 384 orang.

2. Diketahui sebuah barisan geometri -192, 96, -48, 24, ... . Tentukan nilai suku ke delapan dari barisan tersebut?Penyelesaian:Untuk menentukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri, maka harus ditentukan terlebih dulu nilai rasionya. Rumus umum mencari rasio adalah:r = U2/U1 = U3/U2 = U4/U3 dst....r = U2/U1= 96/(-192) = -1/2.Subtitusikan nilai rasio ke rumus suku ke-n barisan geometri.Un = U1.r^(n - 1)U8 = (-192).(-1/2)^(8 - 1)U8 = (-192).(-1/2)^7U8 = (-192).(-1/-128)U8 = (-192).(1/128)U8 = -3/2.

3. Pada sebuah deret geometri, rumus jumlah suku ke-n nya adalah Sn = 2n² + 4n. Tentukan nilai suku ke-9 dari deret tersebut?Penyelesaian:Untuk mencari suku ke-n, jika diketahui jumlah nilai suku-sukunya, maka rumus yang berlaku adalah:Un = Sn - S(n - 1)Jumlah nilai 9 suku pertamaSn = 2n² + 4nS9 = 2(9)² + 4(9)S9 = 2.81 + 36S9 = 198.Jumlah nilai 8 suku pertamaSn = 2n² + 4nS8 = 2(8)² + 4(8)S8 = 2.64 + 32S8 = 160.Maka nilai dari suku ke-9 adalahUn = Sn - S(n - 1)U9 = S9 - S8U9 = 198 - 160 = 38.

4. Diketahui sebuah barisan geometri 4p, 2q, r, ... . Maka nilai dari q² - pr adalah...Penyelesaian:Penentuan rasio.r = U2/U1 = U3/U22q/4p = r/2q2q.2q =4p.r -----> kali silang4q² = 4pr4q² - 4pr = 04(q² -pr) = 0q² -pr = 0.

5. Diketahui sebuah barisan geometri a, b, c, .... Jika diketahui a x b x c = 1728 dan a + b + c = 36, maka nilai a, b dan c adalah...Penyelesaian:a x b x c = 1728 <-----> a.c = 1728/ba + b + c = 36 <-----> a + c = 36 - bRasio = U2/U1 = U3/U2b/a = c/bb² = ac -----> kali silangb² - ac = 0b² - 1728/b = 0b³ - 1728 = 0b³ = 1728b = ³√1728 = 12.Subtitusi nilai b.a.c = 1728/b = 1728 /12 = 144.a + c = 36 - b = 36 - 12 = 24.Nah nilai a dan c yang paling memungkinkan jika nilai a.c = 144 dan a + c = 24 adalah a dan c = 12. Sebab,12.12 = 144 dan 12 + 12 = 24.Jadi nilai a, b dan c adalah 12, 12, 12. Rasionya = 1.

6.Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-10 adalah 41 dan suku ke-5 adalah 21, maka besarnya suku ke-50 adalah ....

A.      200                        D. 203
B.      201                        E. 204
C.      202

Jawaban :   B
U_n = a + ( n – 1 )b
             U₁₀ = a + 9b = 41
      U₅  = a + 4b = 21 _
5b = 20    → b = 4
a + 4b = 21 → a + 4.4 =21 → a + 16 = 21→ a =5
U₅₀ = a + ( 50 – 1 )4
        = 5 + 49.4
        = 5 + 196
        = 201

7. Jumlah n suku pertaman deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n² + 5n. Suku ke-20 dari deret aritmetika tersebut adalah ….
A.      44                  D. 38
B.      42                  E. 36
C.      40
(UN 2012)
Jawaban : A
U_n  = S_n– S_n _{– 1}
U₂₀ = S₂₀ – S₁₉ = (20² + 5.20) – (19² + 5.19)
       = 500 – 456 = 44

8.Seorang penjual daging pada bulan januari dapat menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret dan seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya. Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan adalah ….
A.      1.050 kg         D. 1.650 kg
B.      1.200 kg         E. 1.750 kg
C.      1.350 kg
(UN 2011 P54)
Jawaban : D
Diketahui : a = 120 kg, b = 10 kg, n = 10 bln
        = 1.650 kg

9. Diketahui barisan aritmetika dengan Un adalah suku ke–n. Jika U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165, maka U₁₉ = ….
A.      10                  D. 55
B.      19                  E. 82,5
C.      28,5
(UN 2010 P12)
Jawaban : D
U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165
(a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165
3a + 54b = 165 (dibagi 3)
a + 18b   = 55
Jadi U₁₉ = a + 18b = 55

10.    Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah …
A. 840
B. 660
C. 640
D. 630
E. 315
PEMBAHASAN :
u_n = a + (n – 1)b
u₃ = a + 2b = 36 … (i)
u₅ + u₇ = 144
(a + 4b) + (a + 6b) = 144
2a + 10b = 144 (kalikan ½)
a + 5b = 72 … (ii)
dari (i) dan (ii) diperoleh :
a + 5b = 72
(36 – 2b) + 5b = 72
3b = 36 => b = 12
Kemudian substitusi nilai b ke salah satu persamaan (misal persamaan (i)), sehingga diperoleh :
a = 36 – 2b = 36 – 2(12) = 12
Setelah nilai a dan b kita dapatkan, kemudian kita mencari nilai dari S₁₀ :
Sn = $\frac{n}{2}$ (2a + ( n – 1 )b)
S₁₀ = $\frac{10}{2}$ (2(12) + ( 10 – 1 )12)
   = 5 (24 + (9)12)
   = 5 (24 + 108)
   = 5 (132) = 660
JAWABAN : B

11. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah … buah
A. 60
B. 65
C. 70
D. 75
E. 80
PEMBAHASAN :
u₂ = a + b = 11 … (i)
u₄ = a + 3b = 19 … (ii)
substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), maka diperoleh :
(11 – b) + 3b = 19
2b = 8 => b = 4
Kemudian substitusi nilai b tersebut salah satu persamaan (misal persamaan (i)) sehingga menjadi :
a = 11 – b = 11 – 4 = 7
Setelah nilai a dan b kita peroleh, kemudian substitusi nilai tersebut ke rumusnya :
Sn = $\frac{n}{2}$ (2a + (n – 1)b)
S₅ = $\frac{5}{2}$ (2(7) + (5 – 1)4)
= $\frac{5}{2}$ (14 + (4)4)
= $\frac{5}{2}$ (14 + 16)
= $\frac{5}{2}$ (30) = 75
JAWABAN : D

12. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan kedua Rp.55.000,00, bulan ketiga Rp.60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah …
A. Rp. 1.315.000,00
B. Rp. 1.320.000,00
C. Rp. 2.040.000,00
D. Rp. 2.580.000,00
E. Rp. 2.640.000,00
PEMBAHASAN :
u₁ = a = Rp. 50.000,00
u₂ = Rp. 55.000,00
u₃ = Rp. 60.000,00
b = u₂ – u₁ = Rp. 55.000,00 – Rp. 50.000,00 = Rp. 5.000,00
2tahun = 24 bulan, jadi n = 24

13. Dari suatu deret aritmetika diketahui u₃= 13 dan u₇= 29. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah …
A. 3.250
B. 2.650
C. 1.625
D. 1.325
E. 1.225
PEMBAHASAN :
u₃= a + 2b = 13 … (i)
u₇= a + 6b = 29 … (ii)
substitusi (i) ke (ii), sehingga menjadi :
(13 – 2b) + 6b = 29
            4b = 16 => b = 4
Kemudian nilai b disubstitusi ke salah satu persamaan (misal persamaan (i)), sehingga diperoleh :
a = 13 – 2b = 13 – 2(4) = 5
Sn = $\frac{n}{2}$ (2a + (n – 1)b)
S₂₅ = $\frac{25}{2}$ (2(5) + (25 – 1)4)
   = $\frac{25}{2}$ (10 + (24)4)
   = $\frac{25}{2}$ (10 + 96)
   = $\frac{25}{2}$ (106)
   = 25.53 = 1.325
JAWABAN : D

14. Suku ke – n suatu deret aritmetika u_n = 3n – 5. Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah …
A. S_n = ⁿ/₂ (3n – 7)
B. S_n = ⁿ/₂ (3n – 5)
C. S_n = ⁿ/₂ (3n – 4)
D. S_n = ⁿ/₂ (3n – 3)
E. S_n = ⁿ/₂ (3n – 2)
PEMBAHASAN :
Rumus untuk jumlah suku pertama ke-n barisan aritmatika adalah Sn = $\frac{n}{2}$ (2a + (n – 1)b) atau S_n = $\frac{n}{2}$ (a + u_n). Karena suku ke-n atau u_n diketahui, maka kita gunakan rumus yang kedua untuk mencari rumu jumlah suku pertama ke-n.
u_n = 3n – 5
u₁ = 3(1) – 5 = -2
S_n = $\frac{n}{2}$ (a + u_n)
= $\frac{n}{2}$ (-2 + 3n – 5)
= $\frac{n}{2}$ (3n – 7)
JAWABAN : A

15. Jumlah n buah suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh S_n = $\frac{n}{2}$ (5n – 19). Beda deret tersebut adalah …
A. -5
B. -3
C. -2
D. 3
E. 5
PEMBAHASAN :
S₁ = $\frac{1}{2}$ (5(1) – 19) = -7
S₁ = u₁ = a = suku pertama
S₂ = latex \frac{2}{2}$ (5(2) – 19) = -9
S₂ = u₁ + u₂ = a + (a + b)
= -7 + (-7 + b) = -9
b = -9 + 14 = 5
JAWABAN : E

16. Empat buah bilangan positif membentuk barisan aritmatika. Jika perkalian bilangan pertama dan keempat adalah 46, dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah …
A. 49
B. 50
C. 60
D. 95
E. 98
PEMBAHASAN :
u₁.u₄ = a(a + 3b) = a² + 3ab = 46 … (i)
u₂.u₃ = (a + b)(a + 2b) = a² + 3ab + 2b² = 144 … (ii)
subsitusi (i) ke (ii), sehingga menjadi :
a² + 3ab + 2b² = 46 + 2b² = 144
           2b² = 98
            b² = 49 => b = 7
substitusi nilai b ke persamaan (i) :
a² + 3a(7) = 46
a² + 21a – 46 = 0
(a + 23)(a – 2) = 0
a = -23 atau a = 2
untuk a = -23
S₄ = $\frac{4}{2}$ (2(-23) + (4 – 1)7)
   = 2(-26 + 21)
   = 2(-5) = 10
untuk a = 2
S₄ = $\frac{4}{2}$ (2(2) + (4 – 1)7)
   = 2(4 + 21)
   = 2(25) = 50
JAWABAN : B

17. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S_n = n² + ⁵/₂n. Beda dari deret aritmetika tersebut adalah …
A. -11/2
B. -2
C. 2
D. 5/2
E. 11/2
PEMBAHASAN :
S_n = n² + ⁵/₂n
S₁ = (1)² + ⁵/₂(1) = 7/2
S₁ = u₁ = a
S₂ = (2)² + ⁵/₂(2) = 9
S₂ = u₁ + u₂ = a + (a + b)
9 = 7/2 + (7/2 + b)
9 – 7 = b
2 = b
JAWABAN : C

18. Dari deret aritmetika diketahui suku tengah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672, banyak suku deret tersebut adalah …
A. 17
B. 19
C. 21
D. 23
E. 25
PEMBAHASAN :
u_t = ½(a + u_n) = 32
a + u_n = 32(2)
a + u_n = 64
S_n = $\frac{n}{2}$ (a + u_n)
672 = $\frac{n}{2}$ (64)
672 = n (32)
21 = n
JAWABAN : C

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)